Convergence uniforme suite de fonction exemple

Dans ce cas, la limite uniforme des fonctions continues reste continue. Convergence Pointwise: la convergence est insignifiante pour x = 0 {displaystyle x = 0} et x = 1 {displaystyle x = 1}, depuis f n (0) = f (0) = 0 {displaystyle f_ {n} (0) = f (0) = 0} et f n (1) = f (1) = 1 {displaystyle f_ {n} (1) = f (1) = 1}, pour tous n {displaystyle n}. Si ∑ n = 1 ∞ f n {displaystyle textstyle sum _ {n = 1} ^ {infty} f_ {n}} converge uniformément sur e alors f est intégrable sur e et la série d`intégrales de FN est égale à intégrale de la série de FN. Ce n`est toutefois en général pas possible: même si la convergence est uniforme, la fonction limite n`a pas besoin d`être différenciable (même si la séquence se compose de fonctions analytiques partout, voir la fonction Weierstrass), et même si elle est différenciable, la dérivée de la fonction limite ne doit pas être égale à la limite des dérivés. Indépendamment, des concepts similaires ont été articulés par Philipp Ludwig von Seidel [3] et George Gabriel Stokes. Décrit de manière informelle, si f n {displaystyle f_ {n}} converge vers f {displaystyle f} uniformément, alors la vitesse à laquelle f n (x) {displaystyle f_ {n} (x)} approche f (x) {displaystyle f (x)} est “uniforme” dans tout son domaine dans le sens suivant: afin de déterminer la taille n {displaystyle n} doit être pour garantir que f n (x) {displaystyle f_ {n} (x)} tombe dans une certaine distance ε {displaystyle epsilon} de f (x) {displaystyle f (x)}, nous n`avons pas besoin de connaître la valeur de x 2 E {displaystyle xin E} en question — Il y a une valeur unique de N = N (ε) {displaystyle N = N (epsilon)} indépendante de x {displaystyle x}, de sorte que le choix de n {displaystyle n} pour être plus grand que N {displaystyle N} suffira. Souvent, aucun symbole spécial n`est utilisé, et les auteurs écrivent simplement f n → f u n i f o r m l y {displaystyle f_ {n} To f mathrm {uniformément}} pour indiquer que la convergence est uniforme. La notation pour la convergence uniforme de f n {displaystyle f_ {n}} à f {displaystyle f} n`est pas tout à fait normalisée et différents auteurs ont utilisé une variété de symboles, y compris (dans l`ordre décroissant de popularité) f n ⇉ f {displaystyle f_ {n} rightrightarrows f}, u n i f l i m n → ∞ f n = f {displaystyle {underset {nto infty} {mathrm {UNIF Lim}}} f_ {n} = f}, f n ⟶ u n i f. Tout sous-ensemble délimité est un sous-ensemble d`un disque D R {displaystyle d _ {R}} du rayon R {displaystyle R}, centré sur l`origine dans le plan complexe.

Considérons par exemple f n (x) = n − 1/2 Sin (n x) {displaystyle f_ {n} (x) = n ^ {-1/2} { Sin (NX)}} avec la limite uniforme f n ⇉ f = 0 {displaystyle f_ {n} rightrightarrows fequiv 0}.